Día pi: el número que fascina a los matemáticos...... Antonio Córdoba

El número pi reserva todavía muchos misterios a los expertos del siglo XXI, y su historia está plagada de anécdotas jugosas y relaciones interesantes.

El número Pi. Pixabay

Que la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro sea una constante universal, a la que los griegos llamaron Pi, fue un gran descubrimiento de la antigüedad.
 Sobre pi poseemos una extensa gama de conocimientos: su desarrollo decimal comienza con 3,14159… (con la ayuda de las modernos supercomputadores conocemos hoy cientos de miles de millones de sus cifras decimales); es un número irracional, es decir, no es igual al cociente de dos enteros; 
no es tampoco raíz de ningún polinomio cuyos coeficientes sean enteros, y eso implica que el círculo no puede ser cuadrado con regla y compás.
No obstante, pi reserva todavía muchos misterios a los matemáticos del siglo XXI, y su historia está  plagada de anécdotas jugosas y relaciones interesantes. 
Una de mis favoritas es la siguiente: si sumamos los recíprocos de todos los números enteros elevados al cuadrado, se obtiene pi al cuadrado dividido por 6 (el recíproco de un entero n es la fracción 1/n). 
No deja de sorprenderme que la razón entre la circunferencia y su diámetro aparezca en una suma en la que están los recíprocos de los cuadrados de todos los números.
Me confieso afortunado por haber logrado una nueva manera de calcular el valor de esa suma, que puede entender un estudiante avanzado de secundaria, y que ilustra claramente como, para demostrar una verdad sobre algo tan discreto como son los enteros, resulta conveniente echar mano de utensilios “continuos” del cálculo diferencial.
 No obstante, el primero en saber su valor fue el gran Leonhard Euler, hacia 1734. 
Euler definió para cada número entero n la función z(n) como la suma de los recíprocos de las n-ésimas potencias de enteros. Obtuvo una fórmula general que involucra al número Pi cuando la potencia es un número par, pero el caso de exponente impar es todavía terra incognita.
 En el año 1978 el matemático francés Roger Apery demostró que la suma de los recíprocos de los cubos de los números enteros es un número irracional, pero su ingeniosa demostración no sirve para otros impares.
 

En el año 1978 el matemático francés Roger Apery demostró que la suma de los recíprocos de los cubos de los números enteros es un número irracional, pero su ingeniosa demostración no sirve para otros impares.

Euler ya se dio cuenta de la importancia de la función z(n) en la teoría de los números primos, pero fue el matemático alemán Bernard Riemann quién desveló las consecuencias que las propiedades de la función z(s), con s no necesariamente entero, tienen para conocer la distribución de los números primos en la sucesión de los enteros.
 Así se logró demostrar el llamado “Teorema de los Números Primos”, que dice que la densidad de primos en torno a un número n es proporcional a 1/(número de cifras de n). 
Una de las predicciones importantes que hizo Riemann sobre su función, la llamada “Hipótesis de Riemann”, se ha resistido hasta ahora a los matemáticos y forma parte de esa colección de “Problemas del Milenio” que tienen asignada una recompensa de un millón de dólares.

Si elegimos al azar dos números enteros, entonces la probabilidad de que sean primos entre sí es igual a 6 dividido por el cuadrado de Pi

Otra expresión intrigante en la que aparece pi es de naturaleza aleatoria. 
Si elegimos al azar dos números enteros, entonces la probabilidad de que sean primos entre sí (es decir, que no tengan divisores comunes) es igual a 6 dividido por el cuadrado de pi (0,611…) Para calcular esa proporción Euler utilizó la función φ(n), que ahora llamamos de Euler en su honor, y que asigna a cada entero n el número de enteros menores que él que son primos con él. 
Euler obtuvo una expresión para los promedios de esa función, que nos da la probabilidad buscada y en la que de forma explícita aparece el número pi a través, precisamente, de la suma de los recíprocos de los cuadrados de los números enteros.
La función de Euler es también importante por muchas otras razones: está presente en numerosas fórmulas de la teoría de números y en otros contextos de la ciencia, tales como son el cifrado de mensajes y la seguridad de nuestras comunicaciones por Internet.
 Seguir su pista, y también la de pi, a través de los trabajos de Alan Turing y otros lógico-matemáticos, nos llevaría a la moderna teoría de la computación, que tanto ha cambiado nuestro mundo.
Pero cuanto más aprendemos sobre pi, más misterios surgen.
 Por ejemplo, ignoramos si se trata de un número normal, es decir, si en su desarrollo decimal en cualquier base se encuentran todas las sucesiones finitas de dígitos con la frecuencia que les corresponda por su tamaño. 
Tampoco sabemos si al sumar, o al multiplicar, Pi con el número e=2.78… (tan importante como pi y cuya irracionalidad fue demostrada por Euler) el resultado es racional o irracional.

Antonio Córdoba es Catedrático de Análisis de la Universidad Autónoma de Madrid y director del Instituto de Ciencias Matemáticas.

 

Mark Vanderloo, de aquí a la eternidad.......................Sergi Pons.....

El modelo holandés, en activo a los 48 años, presenta las propuestas para este verano: siluetas relajadas y colores potentes.
LAS ARRUGAS que surcan el rostro de Mark Vanderloo no le restan un ápice de su belleza. 
La imagen del holandés habla, a sus 48 años, de las más de tres décadas que lleva subido a la pasarela. 
No presume de ser el modelo masculino más longevo. 
Tampoco de haber sido uno de los primeros top models que, sin llegar a los honorarios de sus compañeras más célebres, gestionó su carrera como ellas: creando una marca personal y convirtiéndose en el producto estrella de su propia empresa.
Según Forbes, los 10 modelos mejor pagados en 2012 ganaron en total 7,5 millones de euros, mientras que la cifra de sus homólogas femeninas ascendía a 78. 
“No me puedo quejar. Me pagan mejor que a muchas. Incluso en la época de las supermodelos, yo ganaba más que algunas top”, admitía Vanderloo en 2014.
Sigue en activo y no tiene intención de decir adiós a la profesión. “Lo dejaré cuando ya no me divierta”.
 La diversión empezó para este holandés a finales de los ochenta. Estudiaba Historia en la Universidad de Ámsterdam. 
Su novia de entonces iba a participar en un casting para el anuncio de una marca de leche y él la acompañó.
 El fotógrafo acabó dirigiendo el objetivo a sus ojos azules y la pareja protagonizó el spot.
 Fue su primer trabajo como modelo. El primero de muchos. 

El modelo luce un traje burdeos de Boss con camisa burdeos de seda de Just Cavalli y zapatos trenzados marrones de Adolfo Domínguez. fotografía de Sergi Pons / estilismo de Jesús Cicero
Al principio los compaginaba con los estudios. “Pero este maravilloso mundo me acabó absorbiendo y tuve que dejar la carrera”, explica por teléfono desde el Ampurdán, donde se ha realizado este reportaje.
El debut de Vanderloo, con paso firme, en la pasarela fue con Hugo Boss.
 Después se sucedieron Valentino, Versace, Armani… En 1994 protagonizó un anuncio para la televisión en el que conducía desnudo un Peugeot 106 Kids
. Un año después se convirtió en imagen de la fragancia Eternity de Calvin Klein junto a la modelo Christy Turlington.
 Esta campaña terminó de catapultar su carrera y llevó su rostro a las carpetas y habitaciones de las adolescentes de medio mundo. Vanderloo se convirtió en un sex symbol, en el referente de belleza masculina que definió una época.
En 1997 otro spot para una fragancia marcaría su vida. 
Se trataba de DKNY, y su compañera en ese trabajo no fue otra que la española Esther Cañadas, con la que se casaría un año después y de la que se divorció tras dos años de matrimonio.
La década de los noventa fue frenética.
Tanto que, con 28 años, quiso dejarlo. 
No era capaz de aguantar el ritmo. Creía que había tocado techo. “Pensé que lo había conseguido todo. 
Sentía que no había retos para mí”. Pero siguió adelante, aunque rebajó el ritmo de trabajo, ese que le llevaba a hacer más de 50 desfiles por temporada. 

El holandés posa con un batín y pantalón mil rayas de La Perla y camisa azul de Boss. fotografía de Sergi Pons / estilismo de Jesús Cicero
“Me encanta mi profesión. Amo cada uno de sus aspectos.
 No me dedico a esto por dinero, lo hago porque me gusta de verdad y me ayuda a mantenerme en forma, a sentirme sano”.
 Pero reconoce que no resulta fácil seguir su ritmo pasados los 40. Los que lo consiguen son minoría. 
La británica Naomi Campbell, con 46 años, es un ejemplo de longevidad entre las modelos femeninas. 
Vanderloo se alza en el podio masculino. Pero conoce sus limitaciones. “Yo ahora no me reto a mí mismo.
 No puedo competir con chicos de 22 años.
 Es difícil seguir trabajando después de cierta edad si pierdes la cabeza”. 

El nunca lo ha hecho.
 La moda no es solo fiestas y glamour (aunque también). 
Vanderloo reivindica que se trata de un trabajo en equipo, en el que él es solo el último eslabón o el más visible. 
Y entenderlo de esta forma es el único camino para prosperar. Asegura que las “estrellas aisladas” terminan cayendo pronto. 
“No conozco a nadie en este mundillo que siendo arrogante tenga un éxito que dure más de dos años”, argumenta.
La experiencia también le ha reportado una visión sin almibarar de sus expectativas.
 “Si me quedo en casa esperando llamadas para hacer de modelo me puedo volver loco”, sentencia.
 Por eso ha decidido poner su marca, asociada a la elegancia desenfadada, al servicio de otras empresas que vayan más allá de vender perfumes, camisas o coches.
 Cuenta que está volcado en el negocio inmobiliario, centrado en la compra de propiedades para su restauración y posterior venta.
 Está inmerso en un proyecto para promocionar productos locales de Andorra, donde reside la mitad del año, y bromea con incluir un nuevo hito a su carrera: 
“Sería genial seguir desfilando con 70 años”.

La novicia en la escena del sofá....................... Manuel Vicent.....

Un domingo de 2010 una compañera de despacho propuso a la actual jefa de la oposición del gobierno de Cataluña, acudir a un mitin de Albert Rivera. Y se enganchó.

 

La líder de Ciudadanos en Cataluña, Inés Arrimadas. Jordi Socías

Sucede a veces que una aspirante a actriz se presenta en el casting de una película en compañía de una amiga.
 Ya puesto, el director les realiza una prueba a las dos y al final decide darle el papel a la amiga, que sin haber pensado para nada en el cine acaba siendo una estrella.
 Inés Arrimadas era una joven andaluza de Jerez, licenciada en Derecho, en Administración y Dirección de Empresas por la Universidad de Sevilla, que trabajaba en Barcelona en la consultoría D'Aleph sin más aspiraciones que la de ser una buena profesional e integrarse en la sociedad catalana, uno de los sueños de su niñez.
 Un domingo de 2010 una compañera de despacho le propuso acudir a un mitin de Albert Rivera en el teatro Romea.
 Apenas tenía noticia de ese político.
 Tal vez era aquel que años atrás se había presentado ante la opinión pública desnudo en un cartel tapándose con las manos lo único que la gente quiere ver cuando alguien se exhibe en pelotas.
En el escenario apareció el joven líder de Ciudadanos, el partido que había fundado junto con alguna gente atrabiliaria, cómicos, periodistas e intelectuales cabreados, políticos antinacionalistas y otros ejemplares sueltos y sin collar.
 Tenía un aspecto agradable y hablaba sin parar como si el discurso le brotara de forma automática solo de la garganta, no de más arriba, pero sus palabras eran claras, limpias, olían a lavanda, y a Inés Arrimadas le sonaban bien al oído; de hecho le removieron algunos posos de la memoria a los que esta nueva catalana no sabía dar nombre. 

Días después, llevada de cierta intriga, acudió a una reunión en la que el líder de Ciudadanos intercambiaba con un pequeño grupo de seguidores la forma en que había que comunicar el ideario del partido.
 Inés Arrimadas tuvo que dar su opinión y se vio por primera vez hablando de política. 
 Lo hizo de una forma brillante y espontánea, soltando a borbotones ideas azules y faldicortas sobre la unidad de España, la lucha contra la corrupción, la convivencia en una Cataluña solidaria, aspiraciones que sirven para todo y que acaban por disolverse en el aire.
 A Albert Rivera le llamó la atención que aquella joven desconocida hablara de su ideario político con una labia tan fogosa e improvisada.
 No acertaba a saber si la seducción se derivaba de sus palabras o del atractivo de aquel rostro de novicia que las pronunciaba.
 “A partir de hoy, te quiero a mi lado", le dijo, y después de un tiempo de iniciación, la novicia Inés Arrimadas consiguió el papel principal e inició su carrera política, primero diputada al Parlament y hoy jefa de la oposición del gobierno de Cataluña.
 Tiene antepasados rojos y nacionales.
 Sus padres, Rufino e Inés, nacieron y se casaron en Salmoral, un pueblo de 155 habitantes de la provincia de Salamanca, emigraron a Andalucía, luego se trasladaron a Barcelona donde en la década de los sesenta el padre ejerció de policía científico y abogado, regresaron a Jerez de la Frontera en 1970 y allí en julio de 1981 nació Inés, la última de cinco hermanos.
 Desde el sur muy pronto la niña Inés comenzó a idealizar aquella Cataluña abierta y europeísta, el espíritu emprendedor, serio, fiable y acogedor de los catalanes, que tiraba del resto de España, solo por la nostalgia con que sus padres le hablaban en las sobremesas.
 Ya entonces era seguidora del Barça, admiraba a Guardiola y Serrat y mientras estudiaba en el colegio de monjas en Jerez, se licenciaba luego en la facultad de Sevilla, hacía un Erasmus en Niza y viajaba por el mundo con su pareja de entonces con la que convivió siete años, todo su anhelo consistía conquistar el sueño de aquella Barcelona de sus padres.
 Lo consiguió.
No era ni inmigrante ni charnega sino una profesional moderna, que amaba la lengua y la cultura catalana sin perder el gen castellano, replantado en Andalucía, pero aún sin sentirse discriminada se encontró muy pronto con una frontera interior.
 No tenía capacidad para entender la razón emocional del nacionalismo, ni podía imaginar que ese sentimiento tan noble fuera capaz de llegar hasta la locura política. 
La independencia podía ser ese horizonte azul que se aleja a medida que se avanza hacia él, como los sueños felices o esa nube negra cargada de odio que viene hacia ti sin poder evitarla.
 Pero en mitad de su lucha frontal contra el separatismo, he aquí que Inés Arrimadas se enamoró y se casó con un independentista, el diputado de la antigua Convergencia, Xavi Cima, cuya boda civil, ella de blanco manteca, él sometido al chaqué, se celebró en la bodega jerezana de Luis Pérez, con el cotilleo consabido ante la ausencia de los jefes del partido, casi una parodia de la película Ocho apellidos catalanes.
 Este laberinto de pasiones es un símbolo de la sociedad catalana. “Yo me llevo bien con todos”, dice la novicia Inés.
 Hay que imaginarla en la escena del sofá en brazos de su galán, que le dice:”¿No es verdad, ángel de amor, que en esta apartada orilla de Cataluña, entre el fanatismo independentista de Junqueras y el desprecio de Rajoy no hay forma de encontrar solución?”.

La ópera mueve montañas........................ Juan Cruz.

Gregorio Marañón hace la historia del Real y explica la buena relación con el Liceo.

Juan Cruz

El ministro de Educación, Cultura y Deporte, Iñigo Méndez de Vigo, presenta a Gregorio Marañón, presidente del Teatro Real, en un desayuno informativo en el Ritz. Samuel Sánchez

Gregorio Marañón, presidente del Teatro Real, no iba a hablar de eso en el Foro de la Comunicación, pero el asunto Cataluña-España se coló en la conversación que tuvo con el impresionante gentío que fue a escucharle al Ritz.
 ¿Qué tal se lleva el Real con el Liceo? ¿Afecta a sus relaciones el actual clima entre las dos ciudades?
 Por resumir, las dos ciudades son los dos países, Cataluña, España. Marañón, que fue presentado por el ministro de Cultura, Educación, Deportes y Portavocía, Íñigo Méndez de Vigo, como “un bohemio con alma de gestor”, se ajustó sus gafas de cordón e hizo historia.
 El fin de la historia es que se llevan estupendamente y que el 24 de marzo los respectivos patronatos, el barcelonés del Liceo y el madrileño del Real, se van a encontrar en una sesión conjunta en la capital de España.
 La conferencia previa al coloquio revalidó a un Marañón historiador.
 Es autor de un libro reciente sobre El Cigarral de Menores de Toledo, centro neurálgico de la actividad intelectual de su famoso abuelo.
 Y es historiador del Real, aunque no sea el historiador oficial del primer centro de ópera de España, según las estadísticas.
 El Real fue impulsado por la reina Isabel II casi al tiempo que nacía el Liceo.
 Los dos estuvieron cerrados, por motivos diferentes, en distintos momentos de la historia; los dos reciben apoyos estatales similares (aunque el Real recibe menos que el Liceo, al que corresponden 21 millones de euros, mientras que al Real le corresponden 13); las dos instituciones colaboran, de tal manera que ese 24 de marzo, cuando se reúnan sus patronatos, será el prolegómeno de una función de Haendel que el Real estrena en colaboración con su gemelo de Barcelona. 
El aforo del Liceo supera al del Real (2300 butacas por 1750)…; y otras cifras responden a similares parámetros. De modo que cap problema. Bueno, sí hay una diferencia. 
El Congreso de los Diputados ha tenido dos veces en la historia su sede en el Real. 
El Liceo no ha contado nunca con una ocasión así.
A los que de todos modos se les suban las cifras y las estadísticas a la cabeza, el historiador y presidente los puso en su sitio: los dos son centros de capital importancia parta la ópera europea… pero en Francia o en Alemania serían teatros de provincias.
“Estamos llamados a entendernos para ser más grandes", dijo Marañón. 
Y ese entendimiento ya se inició en 1997, cuando se reabrió el Real y cuando se reabrió el Liceo: allí ya hubo una reunión conjunto de ambos patronatos.
 Esta del 24 de marzo se hará “a la hora bien taurina de las 5 de la tarde”.
 Nadie elaboró desde el público ni un minuto sobre la política taurina, que ya distancia algo más a Barcelona de Madrid.
De lo que se habló, en el discurso de Marañón y en las preguntas subsiguientes, fue de la política cultural.
 Le preguntaron por la independencia de esta entidad pública.
 . Autonomía de la gestión, sí; no se llega, no se puede llegar, a lo que pasaba en tiempos de Primo de Rivera, cuando los gobernantes mandaban a quitar a Verdi o a Mozart para poner a los de su cuerda musical.
 Si no hay autonomía artística y de gestión no se puede hacer nada. ¿Y le ayudan los ministros?
 Singularizó a dos: al allí presente César Antonio Molina, que en 2007 abrió el paso a consolidar esa autonomía del Real, y al también presente (y presentador) Íñigo Méndez de Vigo. Como tardaba Marañón en decir su nombre, éste dijo, de coña: “Ya me empezaba a preocupar”.
 A Marañón le parece que a los dos los distingue el talante; en función de ese talante el presidente del teatro le recordó al ministro que la tardanza en la aprobación de los Presupuestos del Estado obliga a la prórroga de la subvención estatal de la institución que preside.
 El ministro está seguro de que se van a aprobar nuevos presupuestos. 
“Entonces podemos esperar un aumento”, dijo el gestor con alma de bohemio. 
El ministro no dijo nada, pero anotó en una libreta de papel.
¿Hubo momentos de tensión en la historia del Real que él preside desde hace diez años? Uno, dijo Marañón: cuando a alguien (dijo “alguien”: no dijo el nombre propio) se le ocurrió influir para que el sucesor de Gerard Mortier (muerto prematuramente, en 2014) tuviera un sucesor determinado; el Real estuvo en desacuerdo con la propuesta incógnita y finalmente fue Joan Matabosch, “que está haciendo un gran trabajo”. Matabosch estaba entre las autoridades e invitados.
Algo que habla de la armonía del templo de la ópera nacional española (Marañón explicó que eso es el Real, nacional) es que “jamás se ha votado nada en su consejo directivo con un voto en contra”.
 Y es que, añadió, con la cultura es fácil llegar al consenso a pesar de las distintas sensibilidades políticas.
Hubo un pequeño detalle que rompió la armonía. Mientras hablaba Marañón sonó un móvil.
 El presidente del Real se quitó sus gafas de cordón y buscó en sus bolsillos por si era el suyo el que sonaba.
 El que lo tuviera abierto lo cerró en seguida. Aliviado el ruido, siguió la sesión en igual armonía. 
Al final glosó la figura afectuosa de Marañón el patrocinador del Foro, Francisco Román, presidente de Vodafone.
 No consta que fuera suyo, o de su marca, el móvil que irrumpió en la charla del presidente del Real.